Теория хаоса, бабочка и порядок

К эффекту бабочки есть очень много отсылок в фильмах о путешествиях во времени: ничего не трогайте, ни с кем не взаимодействуйте, ничего не меняйте  в прошлом…, если хотите вернуться в свой привычный мир. А вы знаете, что на самом деле означает этот термин и как он возник?

Эффект бабочки и хаос

Когда мы пытаемся определить причину события, наблюдая только конечную точку, то можем прокручивать в голове бесконечное число вариантов цепочек предшествующих событий, но вряд ли сможем угадать, с чего все началось.

Давайте переформулируем вопрос: что могло бы помещать произойти этому событию? Например, что могло бы мне помешать написать этот пост? Да любая мелочь, от очередного завала на работе, до банальной лени, или возникновения лучшей идеи для поста. Т.е. какие-то очень малые, даже незначительные, изменения в прошлом могли бы привести к тому, что вы бы сейчас не читали этот текст. Это явление называется эффектом бабочки.

Эффект бабочки – свойство некоторых хаотичных систем, при котором незначительное воздействие может иметь большие непредсказуемые последствия, в том числе в и другом месте.

Изучением и моделирование хаотических систем занимается теория хаоса. И знаете что, теория хаоса не занимается изучением полного всеобъемлющего беспорядка и набора случайностей, которые стойко ассоциируются со словом “хаос”.

Хаотичные системы детерминированы — в них не нарушается причинно-следственная связь, и в некотором смысле они даже являются упорядоченными, но долгосрочные предсказания для них практически невозможны, так как минимальные различия в начальных условиях приводят к огромному отклонению результатов. И, как следствие, практически невозможно управлять такими системами.

Противоположностью хаотичных систем являются устойчивые системы, в которых небольшие изменения начальных условий, приводят к малым изменениям результата, а большие, соответственно, к большим. Т.е. хаотические системы являются неустойчивыми, а значит, мы имеем дело с нелинейными динамическими системами, так как линейные системы устойчивы.

Итак, динамическая система является хаотической, если:

  • она очень чувствительна к начальным условиям (эффект бабочки);
  • она имеет свойство топологического смешивания – такое расширение системы, при котором одна ее область на каком-то этапе расширения при расширении накладывается на любою другую (представьте себе смешивание жидких разноцветных красок);
  • ее периодические орбиты должны быть всюду плотными (см. рис.).

Взмах крыльев бабочки в Бразилии может вызвать торнадо в Техасе

Основоположник теории хаоса и автор эффекта бабочки – американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц.

Все началось с того, что в 1961 г. Лоренц решил проверить результаты метеорологических исследований. Он заново ввел в расчетную программу, разработанной им математической модели, исходные данные (температуру, атм. давление, скорость ветра). Сравнил с распечаткой предыдущих результатов и обнаружил значительные расхождения. И чем более долгосрочным был прогноз, тем сильнее были эти расхождения. Искусственно сгенерированная погода была так же плохо предсказуема, как и погода за окном.

Уже догадались, в чем причина таких результатов? Исходные данные для основного расчета вводились с точностью до 6 знаков после запятой, а выводились с точностью 3 знака после запятой. Соответственно в распечатках, из которых Лоренц брал начальные данные для проверки, они уже были округлены до 3 знака. Изменения в начальных условиях в одну тысячную хватило, чтобы вместо штиля возник ураган!

Несмотря на то, что мы Лоренц использовал полностью детерминированную математическую модель, полученные результаты расчета казались случайными — и это характерно для всех хаотических систем.

«Эффект бабочки» получил такое название благодаря форме трехмерного фазового портрета эволюции системы – «игрушечной атмосферной модели» Лоренца, похожего на крылья бабочки.

Каждая точка пространства (x,y,z) обозначает состояние системы. С каждым шагом по времени появляется новая точка.

  • Линия из точек не образует кольцо – значит, система не приходит к периодическим колебаниям.
  • Появление новых точек не прекращается – значит, система не переходит в устойчивое состояние.
  • На фазовом портрете просматривается закономерность – значит, поведение системы не является случайным.

На фазовом портрете появляется объект, который расположен в определенных границах и не пресекает их. Хорошо видна структура объекта — те самые «крылья» бабочки.  Но внутри этих «крыльев» объект не упорядочен – он продолжает эволюционировать. Ни одна новая точка не совпадает с предыдущей. Такие объекты называются странными аттракторами.

Аттрактор – множество состояний нелинейной динамической системы, к которому она стремится из любого своего состояния с течением времени.

Чтобы подчеркнуть огромное влияние малых изменений в начальных условиях, на результат и обыграть «эффект бабочки», Лоренц придумал знаменитое название своего доклада: «Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?»

Теория хаоса о порядке

  • Детерминированный хаос. С одной стороны, в нашей жизни, кажется, стало еще меньше определенности — даже детерминированные системы могут вести себя непредсказуемо. И чем сложнее эти системы, тем выше степень непредсказуемости — мы наблюдаем хаос. Но в этом хаосе заложен порядок. Неочевидный, сложный, запутанный… но все же порядок. Теория хаоса как раз и помогает найти его.
  • Статистическое описание систем. Начальное состояние системы частиц не может быть задано с абсолютной точностью — любой прибор имеет погрешность, любой компьютер всегда производит округление при расчетах. Поэтому стоит рассматривать не точку, а область начальных условий. При движении в ограниченной области пространства из-за экспоненциального расхождения близких орбит начальные точки перемешиваются по всей этой области. В связи с этим перемешиванием не совсем корректно говорить о координате отдельной частицы – мы переходим статистическому описанию процесса, т.е. к вероятности нахождении частицы в какой-то точке.
  • От кажущейся случайности к хаосу. Многие явления, наблюдаемые в атмосфере, например, движение турбулентных потоков, некоторые химические реакции, движение спутников солнечной системы, а также поведение социальных и экономических систем, и  многих др., считались случайными. Но на самом деле они являются хаотическими, и моделировать их изменение можно при помощи математического аппарата теории хаоса. Например, экологические математические модели роста популяции построены именно на нем.

Что еще почитать по теме хаоса?

Вот и настал тот момент, когда мне сложно порекомендовать книги. Дело в том, что я не читала научно-популярных книг по теории хаоса. Я изучала ее самостоятельно, так как занималась моделированием нелинейных динамических систем, и делала это по учебникам и научным статьям. Это нельзя занимать занимательным чтением, но если бы кто-то спросил у меня, какая книга навсегда изменила мою жизнь, я бы сказала: учебники по нелинейной динамике и хаосу.

Сейчас мне сложно сказать, какой именно этот был учебник. Мое понимание мира не поменялось скачкообразно, но я пересмотрела и отбросила очень многие свои убеждения, связанные с иллюзией уверенности понимания причин.

Вот некоторые из этих книг:

    • Н.А. Магницкий. Теория динамического хаоса.
    • С.П. Кузнецов. Динамический хаос.
    • Ю.П. Климонтович. Турбулентное движение и структура хаоса. Новый подход к статистической теории открытых систем (с этой книги началось мое знакомство с теорией хаоса).

Из научно-популярного могу предложить:

  • Джеймс Глейк. Хаос. Создание новой науки.
  • Видео ролик, где очень наглядно показаны аттракторы

Единственное, с чем я в этом ролике не согласна, так это с тем, что теория хаоса делает шаг в сторону от строгого детерминизма. На мой взгляд, она только его подтверждает. Но это уже философия)